0.99...9... ≠ 1

非正函數學中，有一個證明是這樣的: 

]Prove.. 0.99...9... = 1

]If.. 0.99...9... = x

]10x = 9.99...9...

0+

零正運算為非正函數，通常用來探討已知關係的變數群中，幾個變數的變值對於其他關連變數的大小影響。至於0+、0- 的定義，簡單來說，0+ 是一個最小的正數，0- 則是一個最大的負數。

]Define.. 0+ = lim(x→∞) (1 / x)^x

]Define.. 0- = - 0+

階乘Factorial

階乘寫成Factorial(a)，或表示成a!。

]Define.. Factorial(被乘數)

]Instead.. 被乘數 = a

Visual Basic]Dim x = 1

排列組合

排列(Permutation) 寫成函式Pm(a, b)，唸作"a 取b作排列"，其意義為"a 項元素中取b 項作直線排列的總方法數"，其公式為: a! / (a - b)!。

]Find.. 總共有編號為A、B、C、D 的四人，任選三人排列成隊，求方法數

]Pm(Am({A, B, C, D}), 3) = Pm(4, 3) = 4! / 1! = 4 * 3 * 2 * 1 / 1 = 24

捷徑電路法

有時候會有一張地圖，說某些地方雙向，某些地方單向，求起點到終點的走法數。

如果都沒有雙向道的話，這種問題直接用「爬格子」比較快，也就是從起點開始，與起點連接的為1，交會的地方則將兩點數值相加即可。

Sum

Sum 是求和的函式，內建Loop，寫成: 

]Sum(k = a to b, f(k)) = Σ(k = a to b, f(k)) //其中a、b 為上下限，f(k) 為被加函式。

]

]Σ(k = 1 to 3, 2x) = 2x||x = 1|| + 2x||x = 2|| + 2x||x = 3|| = 2 + 4 + 6 = 12

布林運算

布林值(boolean) 是一個true、false 交替的值，其中，我們以1 代表true，0 代表false。

]If.. a ∈ boolean

]ponge.. a = stick(a, 0)

DC

DC 是用來簡化降冪多項式(descending)，其表示法為: DC (階梯變數, 最低階次方) (最高階係數, 第二高階係數, ... , 最低階係數)。其中，最低階次方默認為0。

]Define.. DC (階梯變數, 最低階次方) (降冪排列的各項係數數列)

]Instead.. 階梯變數 = x

]Instead.. 最低階次方 = a

mod

mod 是取餘數的函式，要求得m / n 的餘數則寫成mod(m, n)。其中，m 稱為「被除數」，n 稱為「除數」。

]mod(7, 4) = 3

在mod 函式裡，除數與被除數皆可為負數。mod 定義餘數的方式為: 被除數減去小於被除數的最大除數倍數。

雷瑟司長短數Recsoss

雷瑟司長短數，Recsoss，是一個容易理解的數值運算法。Ponge 軟數是一個週期數值的宣告，也就是某些數在固定範圍內產生一段週期──雷瑟司也是作用在一段範圍內，但是不同於週期，他的變化是來回性質的。

舉個例子，ponge.. a° = mod(a°, 360)，表示a 的數值由小變大碰到上邊界360 之後，會回到下邊界0，繼續由小變大(有關ponge 的上下邊界直如何得知，在此不討論)。同樣的例子放在雷瑟司長短數上，recsoss.. a = 10 to 0，表示a 在10 與0 之間來回，當a 的數值由小變大碰到上邊界10 之後會停留在10，接著由大變小直到碰到下邊界0，在由小變大。

泰勒展開式是用簡單的方程式去逼近複雜方程式的值。簡單來說，如果我們有一個f(x)，並且知道f(a) = x_a，我們可以以a 為基準，寫出一個逼近式，其中，當x 越接近a，也就是x→a 時，這個逼近式與f(x) 的值十分相近。

泰勒展開式寫成一個和，Taylor(n, x→a) f(x) = Sum(k = 0 to n, (f^''k (a) * (x - a)^(k)) / k!)。其中a 就是我們所說的逼近基準，而n 則可以視為泰勒精確，當n 的值越大，這個逼近式的值越準確。

瑕積分

當積分範圍牽涉到±∞ 時，這個積分是瑕積分。

瑕積分不能直接把上下限代入積分方程裡求值，而是要間接使用極限來解開。

]known.. f(x) = 1 / x^2

向量四則的意義

談論向量，與複數、極座標是一樣的概念。

一般來說一個向量a + bi 可以寫成極座標的形式，也就是c ∠θ°，或者寫成自然指數的形式，e^(iθ)。

柯西不等式──平和積大等積和平

柯西不等式裡所有數都必須是實數。

柯西不等式是「平方和積大於等於積和平方」。也就是說，如果有幾個實數A、B、C、a、b、c，我們可以把她們分成兩組來看，Z = {A, B, C}，z = {a, b, c}，那麼他們之間的關係是: 同一個群組內的成員個別平方後求和，把兩個群組個別得到的數據相乘，這就是「平方和積」。如果把兩個群組互相對應的成員相乘，也就是A 對a，B 對b，C 對c，相乘之後，再求這些乘積的和，最後平方，這就是「積和平方」。

函式未定義

如果我們說函式對於某點未定義，表示在函式代入該點時，得不到統一的答案。

]known.. f(x) = |x - 3|^(x - 4) * |x^2 - 9|^(x - 5)

]known.. g(x) = |x - 3|^(4 - x) * |x^2 - 9|^(5 - x)

]known.. h(x) = f(x) * g(x)

均值定理

當一個函數連續且可微分，於此函數取任意兩點，則兩點間必有另一點，使得該點斜率等於兩點連線的斜率。

]known.. f(x) = x^2

]Find.. 在x = 4 與x = 10 之間，均值定理是否成立

]f(4) = 16

log、e、ln

log 是用來求次方的函式，也就是說，log 跟次方正好是反函式。

]if (a^c = b) then log(a, b) = b //a 是底數，b 則是真數。

log 的函數圖形通過(0, 1) 這個點，因為任何數的零次方是1，除了0。因此，在log 函式裡，底數與真數都不能是0。

切割式積分──數值逼近法

原本的積分，是把被積分函式f(x) 的參數x 切到最小塊，我們稱之為dx。

微分公式裡，我們說f'(x) = lim(h→0) (f(x + h) - f(x)) / h。h 趨近於0，其實就是dx 的概念，因為h 就是切割的寬。

反函式Inverse function

反函式就是倒著做。如果有一個函式f(x) = x + 10，那麼她的反函式g(x) = x - 10。

要檢查反函式，只要先把一個參數值代入主函式中，再把結果代入反函式內，如果跟原本的參數相同，那麼這兩個函式就是反函式。

]known.. f(x) = 2x - 10

條件機率

一般，A 事件的機率我們用函數Probability(A) 來表示。

如果要表示「當A 事件發生時，B 事件發生的機率」，那麼，A 事件就是條件，而B 事件是我們最後要求的目標。我們寫成Probability(B|A)。或者我們可以說Probability(目標事件|條件事件)。