泰勒展開式是用簡單的方程式去逼近複雜方程式的值。簡單來說，如果我們有一個f(x)，並且知道f(a) = x_a，我們可以以a 為基準，寫出一個逼近式，其中，當x 越接近a，也就是x→a 時，這個逼近式與f(x) 的值十分相近。
泰勒展開式寫成一個和，Taylor(n, x→a) f(x) = Sum(k = 0 to n, (f^''k (a) * (x - a)^(k)) / k!)。其中a 就是我們所說的逼近基準，而n 則可以視為泰勒精確，當n 的值越大，這個逼近式的值越準確。
正確來說，一個泰勒展開式是由許多分式加總求得的，每一個分式分別是Taylor(x→a,in k) f(x) = (f^''k (a) * (x - a)^(k)) / k!)，泰勒展開式則是把每一階的泰勒分式加總Taylor(n, x→a) f(x) = Sum(k = 0 to n, Taylor(x→a,in k) f(x))。
必須注意的是，這個逼近值a 必須是自己能夠利用以求得函數值的參數。
]Find.. sin(3)
]Taylor(2, θ→3.14) sin(θ) = Sum(k = 0 to 2, Taylor(x→3.14,in k) f(x))
]Taylor(x→3.14,in 0) sin(θ) = (sin^''0 (3.14) * (x - 3.14)^0) / 0! = sin(3.14) * 1 / 1 = 0
]Taylor(x→3.14,in 1) sin(θ) = (sin^''1 (3.14) * (x - 3.14)^1) / 1! = sin(3.14) * (x - 3.14) / 1 = x - 3.14
]Taylor(x→3.14,in 2) sin(θ) = (sin^''2 (3.14) * (x - 3.14)^2) / 2! = -sin(3.14) * (x - 3.14)^2 / 2 = (x - 3.14)^2 / 2
]Taylor(2, x→3.14) sin(x) = 0 + x - 3.14 + (x - 3.14)^2 / 2 = (x - 3.14)^2 / 2 + x - 3.14
]Taylor(2, x→3.14) sin(3) = (3 - 3.14)^2 / 2 + 3 - 3.14 = 0.1302 ≒ sin(3) = 0.1411
為了方便計算，我們經常把逼近值設為0。這個時候，x→0 可以省略。
]Find.. sin(3)
]Taylor(4) sin(θ) = Sum(k = 0 to 4, Taylor(in k) sin(θ))
]Taylor(in 0) sin(θ) = (sin^''0 (0) * x^0) / 0! = sin(0) * 1 / 1 = 0
]Taylor(in 1) sin(θ) = (sin^''1 (0) * x^1) / 1! = cos(0) * x / 1 = x
]Taylor(in 2) sin(θ) = (sin^''2 (0) * x^2) / 2! = -sin(0) * x^2 / 2 = 0
]Taylor(in 3) sin(θ) = (sin^''3 (0) * x^3) / 3! = -cos(0) * x^3 / 6 = -x^3 / 6
]Taylor(in 4) sin(θ) = (sin^''4 (0) * x^4) / 4! = sin(0) * x^4 / 24 = 0
]Taylor(4) sin(θ) = Sum(k = 0 to 2, Taylor(in k)) = 0 + x + 0 - x^3 / 6 + 0 = -x^3 / 6 + x
]Taylor(4) sin(3) = -3^3 / 6 + 3 = -1.5
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