切割式積分──數值逼近法

原本的積分，是把被積分函式f(x) 的參數x 切到最小塊，我們稱之為dx。

微分公式裡，我們說f'(x) = lim(h→0) (f(x + h) - f(x)) / h。h 趨近於0，其實就是dx 的概念，因為h 就是切割的寬。

如果我們希望得到函式f(x) 在某一個區間與x 軸圍出的面積並取近似值，我們可以試著把切割的寬拉大一點，變成以一個一個矩形來拼湊該函式的面積。

]known.. f(x) = x^2 - 10

]Find.. Between 5 to 299, A_f

]f'(x) ≒ lim(h→1) (f(x + h) - f(x)) / h //(h→1) 正表示我們把她以1 為單位切割開來。

]A_f = Sigma(k = 5 to 299, lim(h→1) (f(k + h) - f(k)) / h)

]with k - 1 kill f(k) / h ...((1

]with k + 1 kill f(k + h) / h ...((1

]((1 speed = Sigma(k = 5 to 299, lim(h→1) (f(k + h) - f(k)) / h) = f(5) / 1 + f(299 + 1) / 1 = 15 + 89990 = 90005

我們也可以試著切割成非1 的單位。

]known.. f(x) = x^4

]Find.. Between -5 to 5, A_f

]f'(x) ≒ lim(x→5) (f(x + h) - f(x)) / h //每一份都是以5 為單位，可見能信度不高。

]A_f = Sigma(k = -5 to 5 step 5, lim(h→5) (f(k + h) - f(k)) / h)

]with k - 5 kill f(k) / h ...((1

]with k + 5 kill f(k + h) / h ...((1

]((1 speed = Sigma(k = -5 to 5 step 5, lim(h→5) (f(k + h) - f(k)) / h) = f(-5) + f(5 + 5) = 625 + 10000 = 10625