柯西不等式──平和積大等積和平

柯西不等式裡所有數都必須是實數。

柯西不等式是「平方和積大於等於積和平方」。也就是說，如果有幾個實數A、B、C、a、b、c，我們可以把她們分成兩組來看，Z = {A, B, C}，z = {a, b, c}，那麼他們之間的關係是: 同一個群組內的成員個別平方後求和，把兩個群組個別得到的數據相乘，這就是「平方和積」。如果把兩個群組互相對應的成員相乘，也就是A 對a，B 對b，C 對c，相乘之後，再求這些乘積的和，最後平方，這就是「積和平方」。

如果有人懷疑為甚麼要「成員對應」，那是因為我這裡想要強調「一個成員只能配對一次」，但是這樣的描述法顯然不是很清楚。因為群組內的成員並沒有規定要如何排列，上例中，我們也可以把Z 排成{A, C, B}，不會有影響。

這個公式簡化後，通常稱為「平和積大等積和平」，或者直接叫做柯西不等式。

]known.. x^2 + 4y^2 + 9z^2 = 12

]Find.. (2x + 4y + 6z)∥max - (2x + 4y + 6z)∥min

]If.. Z_1 = {x, 2y, 3z}

]If.. Z_2 = {a, b, c}

]If.. 積和平方 = (x + 2y + 3z)^2

]x * a = 2x

]a = 2

]y * b = 4y

]b = 2

]z * c = 6z

]c = 2

]Z_2 = {2, 2, 2}

]((x)^2 + (2y)^2 + (3z)^2)((2)^2 + (2)^2 + (2)^2) ≧ (2x + 4y + 6z)^2

]12 * 12 ≧ (2x + 4y + 6z)^2

]-12 ≦ 2x + 4y + 6z ≦ 12

]12 - (-12) = 24