簡單積分

積分其實就是微分的反函式，不過要注意，積分後應該會有一個不能直接得知的常數。

]known.. f(x) = x^2

]f'(x) = 2x

]∫f'(x) dx = f(x) + C = x^2 + C

記得，積分式裡，一定要在末端補上變數名稱，因為有些被積分式是只有常數的。

]known.. (2x)' = 2

]known.. (2y)' = 2

]known.. (2z)' = 2

]∫2 dx = 2x

]∫2 dy = 2y

]∫2 dz = 2z //由於後面表示的變數不同，求出來的答案也不同。

表示成(d f(x) / dx) 形式的微分，雖然意義跟分數截然不同，但是我們可以把她「想像成」分數，對她進行移項。

移項之後，「微分」的意義就顛倒成「積分」了。為了避免混淆，我們在被積分的函式前面加上符號"∫"。

]If.. (d f(x) / dx) = g(x)

]d f(x) = g(x) dx

]f(x) = ∫g(x) dx //d 移項就變成∫。

]∫g(x) dx = f(x)

另外，我們也可以利用這種觀念，對一些比較複雜的積分函式作化簡。

]Find.. ∫sin^2 (x) * cos(x) dx

]Instead.. sin(x) = u

]du / dx = cos(x)

]du = cos(x) dx

]∫sin^2 (x) cos(x) dx = ∫u^2 cos(x) dx = ∫u^2 du //不用懷疑，後面宣告變數的"dx" 也當作一個「乘在cos(x) 尾巴」的數值

還有，積分跟微分一樣，乘上去的常數是沒有影響的，可以把她提出去。

]∫2 * f(x) dx = 2∫f(x) dx

上面是簡單的積分，而且是「不定積分」，也就是說，我們求出來的是一個通式。如果我們把「上下限」代入通式，就成了定積分。

而定積分，其實就是在求這個積分函式與x 軸所夾的面積──介於上下限之間的面積。

那如果這個積分函式有一部份不在x 軸上面，而是跑到x 軸下方呢? 那麼這塊所夾面積就是負值。

要表示上下限的語法是"∫(下限→上限) 被積函式 d變數"。代入上下限的方法，就是先求出積分式，然後把上限代入後得到的值減去下限代入後得到的值。

]known.. ∫g(x) dx = f(x)

]Find.. ∫(a→b) g(x) dx

]∫(a→b) g(x) dx = f(b) - f(a)

有一點要稍微注意，因為定積分正好是參數之代入積分式上限減掉下限，因此可以把一個定積分拆成兩個，中間用任意的參數連貫。

]∫(a→c) f(x) dx = ∫(a→b) f(x) dx + ∫(b→c) f(x) dx

利用上面這點，我們就可以對條件限制的函式簡單地微積分了。

]known.. f(x) = 2x , x ≧ 2

]known.. f(x) = 6x , x < 2

]Find.. ∫(1→3) f(x) dx

]∫(1→3) f(x) dx = ∫(1→2) f(x) dx + ∫(2→3) f(x) dx = ∫(1→2) 6x dx + ∫(2→3) 2x dx

]= ((3x^2 ||x = 2|| ) - (3x^2 ||x = 1|| )) + ((x^2 ||x = 3|| ) - (x^2 ||x = 2||))

]= (12 - 3) + (9 - 4) = 14